Chapitre 4. Éléments finis : simulation de l'équation de Poisson

Table des matières

1. Description physique de la simulation
2. Logique de la description en XML de la simulation
2.1. Description générale
2.2. Paramètres
2.2.1. Paramètres de discrétisation
2.3. Modèles mathématiques
2.3.1. Définition de la variable thetain et de son intervalle de discrétisation [0, 2π]
2.3.2. Définition de la variable thetaout et de son intervalle de discrétisation [0, 2π]
2.3.3. Définition du domaine Ω
2.3.4. Définition de l'équation aux dérivées partielles stationnaire
2.4. Affichage des résultats

Cet exemple correspond au fichier Physics/pde.xml du sous-répertoire examples du répertoire d'installation de XMLlab.

1. Description physique de la simulation

L'équation de Poisson a pour but de simuler un potentiel électrique. Elle est un cas particulier de l'équation de Laplace, qui est la suivante :

div ( D u ) + c u = f , ( x , y ) Ω

avec deux types de conditions aux limites :

  • robin : ( D u ) . n + σ i u = ξ i , ( x , y ) Γ i ,

  • dirichlet : u = g i , ( x , y ) Γ i .

sachant que le domaine Ω a pour frontière Γ = Γ0 ∪ Γ1 ∪ ... Γi ∪ ... Γn.

L’exemple que nous nous proposons de traiter correspond au domaine Ω suivant, qui a pour frontière Γ = Γ0 ∪ Γ1 ∪ Γ2.

Figure 4.1. Domaine Ω

Domaine Ω
Γ 0 : { x = cos ( θ ) y = sin ( θ ) θ [ 0,2 π ]
Γ 1 : { x = 0.4 + 0.2 cos ( θ ) y = 0.2 sin ( θ ) θ [ 0,2 π ]
Γ 2 : { x = 0.4 + 0.25 cos ( θ ) y = 0.25 sin ( θ ) θ [ 0,2 π ]

La convention étant que l’intérieur du domaine se trouve toujours à gauche de la courbe quand le paramètre augmente (ici θ). On a donc ici deux trous. On discrétisera Γ0 avec 2n points et Γ1, Γ2 avec n points.

L’équation de Poisson concernant notre simulation est finalement la suivante :

div ( D u ) = 0, ( x , y ) Ω

avec D = ( 10 0 0 d ) et pour conditions aux limites :

{ u = 0, ( x , y ) Γ 0 u = a , ( x , y ) Γ 1 u = b , ( x , y ) Γ 2